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Fondamenti della geometria

David Hilbert

Fondamenti della geometria

Con i Supplementi di Paul Bernays

Un progetto ambizioso che vuole riportare all’attenzione pubblica testi classici (inediti in Italia od ormai introvabili) che nell’ultimo secolo hanno fornito un contributo miliare alla nostra cultura. Il secondo volume presenta i Fondamenti della Geometria (1899) di Hilbert, un punto di svolta epocale nell’impostazione metodologica della matematica, un punto di riferimento irrinunciabile nella riflessione sui fondamenti metodologici della scienza contemporanea.

Edizione a stampa

40,00

Pagine: 320

ISBN: 9788856814361

Edizione: 4a ristampa 2024, 1a edizione 2009

Codice editore: 211.2

Disponibilità: Buona

I Fondamenti della Geometria (1899) costituiscono un punto di svolta epocale nella impostazione metodologica della matematica e, per opinione largamente condivisa, rappresentano l'atto di fondazione della matematica moderna. Ma questo volume, straordinariamente piano nello stile e fruibile anche da un lettore con conoscenze elementari di matematica e di logica, ha un interesse che travalica quello strettamente disciplinare, proponendosi come una chiave di lettura delle variazioni di paradigma che negli stessi anni vengono a maturazione in fisica e che cambieranno complessivamente il volto della scienza moderna. Il passaggio, per semplificare, dal metodo logico-induttivo a quello logico-deduttivo proprio dell'assiomatica formale costituisce una rivoluzione taciuta senza la quale difficilmente oggi esisterebbe la logica moderna (da Russell a Quine) o teorie come la meccanica quantistica e la meccanica relativistica. E ciò rende questo scritto di Hilbert un punto di riferimento irrinunciabile nella riflessione sui fondamenti metodologici della scienza contemporanea.

David Hilbert (1862-1945) è considerato, assieme a Poincaré, il più grande matematico della modernità. Insegna matematica prima a Königsberg e poi, dal 1895, a Göttingen, in quello che è stato per quasi mezzo secolo, prima delle epurazioni naziste, l'indiscusso polo di eccellenza della matematica mondiale. Testimone e protagonista della crisi della geometria indotta dalla polemica sulle geometrie non euclidee, Hilbert lavora ad un coerente programma di assiomatizzazione della matematica, che successivamente cerca di estendere alla fisica, contribuendo in maniera assai significativa alla formalizzazione della fisica relativistica e quantistica.



Dario Narducci, Presentazione. La nascita dell'assiomatica formale in matematica e nelle scienze della natura
Bibliografia essenziale di David Hibert
Renato Betti, Introduzione. L'analisi logica dell'intuizione spaziale, fra apriorismo ed esperienza
David Hilbert, Fondamenti della geometria
Paul Bernays, Prefazione alla decima edizione
Introduzione
I cinque gruppi di assiomi
(Gli elementi della geometria ed i cinque gruppi di assiomi; Il primo gruppo di assiomi: assiomi di collegamento; Il secondo gruppo di assiomi: assiomi di ordinamento; Conseguenze degli assiomi di collegamento ed ordinamento; Il terzo gruppo di assiomi: assiomi di congruenza; Il quarto gruppo di assiomi: assioma delle parallele; Il quinto gruppo di assiomi: assiomi di continuità)
La non-contraddittorietà e indipendenza relativa degli assiomi
(La non-contraddittorietà degli assiomi; Indipendenza dell'assioma delle parallele (geometria non-euclidea); L'indipendenza degli assiomi di congruenza; L'indipendenza degli assiomi di continuità (geometria non-archimedea))
La teoria delle proporzioni
(Sistemi complessi di numeri; Dimostrazione del teorema di Pascal; Il calcolo con i segmenti sulla base del teorema di Pascal; Le proporzioni ed i teoremi sulla simulazione; Le equazioni della retta e del piano)
La teoria dell'equivalenza nel piano
(La equiscomponibilità e la equiampliabilità dei poligoni; Parallelogrammi e triangoli con basi ed altezze uguali; L'area dei triangoli e dei poligoni; La equiampliabilità e l'area)
Il teorema di Desargues
(Il teorema di Desargues e la sua dimostrazione nel piano con l'aiuto degli assiomi di congruenza; La non-dimostrabilità del teorema di Desargues nel piano senza l'aiuto degli assiomi di congruenza; Introduzione di un calcolo con i segmenti senza uso degli assiomi di congruenza, sulla base del teorema di Desargues; Le leggi commutativa ed associativa dell'addizione nel nuovo calcolo con i seguenti; La legge associativa della moltiplicazione e le due leggi distributive nel nuovo calcolo con i segmenti; L'equazione della retta sulla base del nuovo calcolo con i seguenti; L'insieme dei segmenti inteso come un sistema complesso di numeri; Costruzione di una geometria dello spazio con l'aiuto di un sistema di numeri desargueismo; Il significato del teorema di Desargues)
Il teorema di Pascal
(Due teoremi sulla dimostrabilità del teorema di Pascal; La legge commutativa della moltiplicazione in un sistema di numeri archimedeo; La legge commutativa della moltiplicazione in un sistema di numeri non-archimedeo; Dimostrazione di due teoremi sul teorema di Pascal (geometria non-pascaliana); Dimostrazione di un qualsiasi teorema su punti di intersezione mediante il teorema di Pascal)
Le costruzioni geometriche sulla base degli assiomi I-IV
(Le costruzioni geometriche con riga e compasso ad apertura fissa; Criterio per la possibilità delle costruzioni geometriche con riga e compasso ad apertura fissa)
Conclusione
Appendici
(Sulla linea retta come minima congiungente di due punti; Sul teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele; Un nuovo modo di fondare la geometria di Bollai-Lobacevskij; Sui fondamenti della geometria; Sulla superficie di curvatura gaussiana costante)
Paul Bernays, Supplementi
(Supplemento primo; Supplemento secondo; Supplemento terzo; Supplemento quarto; Supplemento quinto)
Indice analitico.

Contributi: Paul Bernays, Renato Betti, Dario Narducci

Collana: Chimere

Argomenti: Matematica e geometria

Livello: Classici

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